从点到场：表示、可见性与渲染假设

场景表示、深度顺序与可见性

三角化输出十二个带颜色描述子的三维点，还不是完整场景。表示规定程序能够保存什么，渲染规定它如何产生图像，二者共同决定能被数据辨识的内容。一个点云可精确记录中心，却不提供连续表面或不透明轮廓；同一个点集可被解释为发光粒子、表面采样或体密度中心，得到不同画面。因此从点到图像必须先公开成像假设，不能仅给一个“场景”名称掩盖缺失结构。

点云是位置及附属属性的集合，容易从稀疏匹配得到；若直接画一个像素会有孔洞，需要点尺寸或重建表面的规则。三角网格额外给顶点之间的拓扑连接，并定义片内插值；边如何连接不是从无序点列表自动唯一决定。体素把空间切为格子，每格保存占据或密度；三维分辨率每轴翻倍，格子数约增八倍。连续隐式场则用函数查询坐标，仍需采样、等值面或体积分来形成可见输出。

不透明表面渲染沿每个像素射线只取最近交点。最小教学版本把点投到最近像素，深度缓冲初始为无穷，若当前深度更小就覆盖。这个规则是离散可见性，不模拟透明混合与阴影。项目独立实现并测试深度缓冲，以说明“远点不能盖过近点”的条件；主照片却由可加的发光 Gaussian 产生，二者不会被混称为同一渲染器。不同物理模型需分别验收。

算例一：最近深度和透明混合不同

两点投影到同一像素，深度分别四米和二米。深度缓冲先见四米再见二米，结果二米；倒换输入顺序仍二米，因此对不同深度的点顺序无关。若两点具有半透明度，则远点仍可能贡献颜色，深度缓冲会错误丢弃它。若深度完全相同，颜色覆盖还需要明确相等时的规则，不能只凭比较运算偶然先后决定材质含义。项目测试只检查最小深度，不声称完整表面光栅化。

对连续体积，令射线参数 s 表示距离，密度 sigma 非负，单位为每米。把一小段长度 ds 的透射比例近似为一减 sigma 乘 ds，分段相乘再取连续极限得到指数衰减。到位置 s 的透射率 T 是此前密度线积分取负指数；局部颜色贡献是透射率乘密度乘颜色再积分。这里颜色表示被该段散射或发出的有效辐射，忽略真实多次散射，是采用的体渲染模型而非任意材质的完整物理。

若每段内部密度与颜色近似常数，段长为 delta，段不透明度 alpha 等于一减 exp 负 sigma delta；前段剩余透射率是所有一减 alpha 的乘积。第 i 段权重为此前透射率乘本段 alpha，颜色为这些权重乘颜色的和，再加剩余背景。权重非负，总和加背景权重为一，可用递推证明：加入一段只把已有剩余量拆成新贡献与新剩余。这一归一性是程序检查，而不是可随便删掉的细节。

算例二：两层体积的颜色与顺序

前层为红色，alpha 等于零点五；后层为蓝色，alpha 也为零点五，背景黑。前层贡献红色零点五，后层透射率只剩零点五，所以蓝色贡献零点二五，背景剩余零点二五但为黑。最终 RGB 是零点五、零、零点二五。若交换红蓝深度，结果变成零点二五、零、零点五。把颜色直接相加得到零点五、零、零点五会遗漏可见性，无法与体渲染等同。

NeRF 原始方法用网络把三维位置与观察方向映射为密度与颜色，再沿射线采样并优化多视角像素误差。位置编码、体积权重和视角依赖各承担不同职责；“有一个坐标输入神经网络”并不足以构成 NeRF 实现。本项目不实现该网络、射线体积分或层次采样，因此只用它作机制比较，不把当前亮斑拟合称为已训练 NeRF，也不据小场景速度推断其训练性能。

原始 3D Gaussian Splatting 用显式三维各向异性 Gaussian 表示场景，结合投影协方差、可见性排序、颜色表示与密度控制做优化。这里的项目仅保留“小量三维 Gaussian 参数通过投影得到像素核并可微拟合”这个局部机制。它没有各向异性协方差、球谐方向颜色、分裂剪枝、不透明层排序和高效 GPU 光栅化，不能仅因为名字有 Gaussian 就声称完整复现原论文。

我们的场景被明确定义为稀疏透明发光珠。每个珠子有三维中心、三个强度通道和一个正半径；投影中心来自一般 P，屏幕半径近似焦距乘世界半径除相机深度。像素强度是背景加所有二维 Gaussian 核乘颜色的和，没有前后遮挡。数据生成与拟合共享这项受控假设，因此它适合验证信息链和优化机制，但自然场景的遮挡与反射不在解释范围。

屏幕半径公式也有近似条件。它把局部投影当各向同性，忽略珠子深度方向的扩展和画面边缘的透视各向异性；当半径相比深度很小、区域不太偏离光轴时较合理。严格线性化可把三维协方差用投影雅可比前后相乘得到二维协方差，下一章写出该关系。这里像素生成器本身直接用这条半径规则，因此“模型内精确拟合”与“现实球体精确投影”要分开。

图像全局 MSE 容易被大量黑背景稀释。亮点只有数百像素，即使位置明显偏移，整幅小图平均误差也可能不大。项目同时记录观测前景区域上的误差与几何中心误差，避免背景占比决定成功。前景掩码使用固定观测阈值，不根据预测哪里容易就选择哪里。若改表示为不透明物体，还必须补轮廓、深度与遮挡检查，不能沿用当前尾部光斑指标当作表面质量。

表示选择影响欠定性。只有中心点的几何不能约束其真实颜色、半径与遮挡；仅用几张光度图像，也可能用不同半径与强度组合得到类似总能量。引入更多视角、已知尺度、合理先验和独立评价可减少歧义，但不凭空证明唯一。课程把可学习参数限制为每珠七个，固定已标定相机，目的是让每个梯度与失败能追到具体假设，不将小参数实验夸大为完整现实场景恢复。

一个合格场景档案同时保存几何、表示类型、坐标单位、相机、成像假设、未知区域与生成图片。如果只有渲染截图，无法判断它是否由预存二维图粘贴；如果只有点云坐标，无法判断像素是否被解释。下一章用可微渲染把两者连接，并用留出视图验证，同样保留投影矩阵和实际输入文件，确保结果能从观测重新计算。

可加发光模型还有一个易核查的非物理饱和边界：多个亮核重合时强度可能超过一。保存八位图片会裁剪到一，训练若仍用未裁剪预测便无法完全解释被裁剪像素。当前场景稀疏、单核峰值零点七二，避免了显著重叠饱和；这是一项数据设计条件。扩展到密集场景时需记录饱和掩码或采用匹配的相机响应，不能把裁剪后的图片当无条件线性观测。

front_alpha,back_alpha=.5,.5
weights=[front_alpha,(1-front_alpha)*back_alpha]
bg=(1-front_alpha)*(1-back_alpha)
assert sum(weights)+bg==1
print({'red':weights[0],'blue':weights[1],'background_weight':bg})