真实训练一个可微 Gaussian 场景

Gaussian 光度模型与可微拟合

前面各章已经从实际 PNG 得到一般相机和未知珠子三维中心，本章加入真实可学习参数。每个珠子有三个位置、三个颜色强度和一个半径，共七个；十二珠合计八十四个全部参与训练。相机由独立标靶估计后固定，不作为可学习参数。没有预训练模型、外部权重或只训练最终输出的捷径；损失从实际训练图像像素经渲染核反传到每组参数。

位置以米直接参数化，半径用实数 rho 取指数，确保任何有限 rho 对应正值；三个颜色强度用实数向量 a 经 sigmoid，限制在零和一之间。这里颜色不是归一化描述子，后者只用于匹配，不能直接当发光幅值真值。初始化把描述子乘固定零点五五转为初始颜色，再取 logit。半径初始零点零七五米，三维中心在三角化结果上加种子十七的高斯扰动，标准差零点零三五米，作为公开的优化控制。

Gaussian 核对中心与宽度的梯度可以直接求出。先对指数内部求导，再乘核本身：对横中心的导数是核乘像素横差除宽度平方，纵向同理；对宽度的导数是核乘距离平方除宽度立方。离中心很远时核接近零，位置梯度也可能很弱，这解释了差初始化为何可能难收敛。当前位置离观测太远时不应期待“可微”自动等于“容易训练”。

三维位置的影响有两条路径：它改变投影中心，也改变深度从而改变屏幕半径。第二章的投影雅可比给第一条；半径对深度的导数为负焦距乘世界半径除深度平方，给第二条。忽略后者仍可能让中心位置朝某方向更新，却不再是所声明渲染公式的完整梯度。项目用张量运算保留两条路径，并用 float64 中心差分检查位置导数，而非只断言框架“自动算所以正确”。

算例一：宽度梯度与尺度方向

一个珠子离某像素横向两像素、纵向零，屏幕宽度也是两像素，则核值为 exp 负二分之一，约零点六零六五。对横中心的导数为核乘二除四，约零点三零三三；对屏幕宽度导数为核乘四除八，也约零点三零三三。中心朝该像素移动或稍增宽度都会增加此像素强度，但在其他像素处作用不同。单个像素无法可靠区分两种变化，整个光斑及多视角才提供更多约束。

如果三维协方差是 Sigma，局部投影可由雅可比 J 给二维协方差近似 J Sigma J 转置。这是随机小扰动的线性传播：将三维偏移先乘 J，外积取期望就得到该式。各向同性三维 Sigma 为半径平方乘单位阵，仍可能因离轴投影出现二维各向异性。当前项目为可解释性采用简化标量屏幕宽度，它不是这个完整协方差投影的实现，更不是原始3DGS全部参数机制。

训练使用前三张场景图，逐视角每坐标 RGB 平方误差平均，再对视角平均。每次更新处理同一组完整小图，不随机抽像素，因此批次轨迹由固定配置完全确定。Adam 学习率零点零零六，共一百八十次更新，CPU 一个线程。每步先清梯度、渲染训练视角、形成损失、反传、更新，评价图像不进入损失图。保存优化器是记录状态，但本项目没有提供精确断点恢复 CLI。

算例二：背景稀释与真实训练记录

若八十乘九十六图像中只有三百六十个前景像素，前景大约占百分之四点七。假设前景每坐标 MSE 为零点零一，背景完全正确，则全图 MSE 约零点零零零四七，看起来很小却不代表亮斑已对齐。本次实测第一个训练视角初始全图 MSE 为零点零零零五八六三五，前景为零点零一零三五五；最终分别约一点七一九四乘十的负五次方与零点零零零三二九九三，两个口径都保存。

两张留出视角的最终全图 MSE 分别约一点七二九二与一点六七九九乘十的负五次方，对应 PSNR 四十七点六二和四十七点七五分贝。它们没有进入任何更新，但使用独立标靶提供的相机参数。该指标来自模型内生成的小幅、稀疏、透明发光场景；不能和现实照片3DGS论文的 PSNR 直接比较。图像结构、动态范围、背景比例与评价条件都不同。

几何评价也有独立意义。只比较初始被扰动位置到拟合位置的变化不能说明更接近真值；评价文件在训练结束后给出真实中心。三角化原始 RMS 约二点九零八毫米，拟合后约一点五五四毫米。这里同时保留未扰动三角化基线，避免把故意扰动的坏初值当唯一对照。拟合在本次种子改善几何与像素，但不把这个有限结果宣布为所有初始化与场景的定理。

颜色与宽度存在补偿关系。二维 Gaussian 总能量与颜色乘宽度平方成正比，较窄但更亮的核可能在低分辨率下接近较宽但较暗的核。多视角不同深度会改变屏幕大小，能够增加辨识信息，但量化、重叠与缺失仍会产生歧义。对参数施加物理范围或增加高分辨率观测是新的假设与数据，不能在验收失败后悄悄加入再沿用旧实验报告。

有限差分检验选择 float64、小而非零的参数扰动，目标用非对称像素权重避免整体积分对平移不敏感。比较加扰动和减扰动的目标差除二倍步长，与反传位置梯度核对。还分别检查颜色与半径梯度有限且非零。有限差分不应靠过小步长让舍入误差支配，也不应靠过大步长跨越强非线性；测试固定明确步长，并用相对误差而不是只看方向相同。

留出泄漏测试更直接：复制输入目录，把两张保留场景图像全部改成黑色，使用完全相同的相机、初值和训练步数，要求三个拟合参数张量逐位相同。它验证这些像素不参与更新，强于“代码注释说没有用”。本项目短测试真实执行了这项反证，也测试删除未知场景真值仍能重建。它们只保护对应信息边界，不证明相机标定无误或图像模型对真实世界充分。

失败处理是训练器的一部分。若深度变为非正，渲染器拒绝；若初始核远离观测、核过窄或颜色 sigmoid 饱和，梯度可能不足，需要报告不收敛而不是删除该次结果。当前演示选择几何初始化加小扰动，不是随机从空白世界发现所有物体。无密度控制和新珠子生成，缺失珠子无法自动补出；若想扩展为完整训练器，必须设计出生、分裂、剪枝及遮挡机制并重新测试。

训练误差含量化与标定偏差，最终非零损失并不自动表示优化器错误。生成器精确相机先渲染并量化，拟合使用像素检测后估出的相机，所以二者并非完全相同的连续函数实例。若要测纯优化能力，可增加精确相机的正向控制，但必须与主实验分开命名。主报告保留估计相机链，使观察到的残差如实包含从文件到观测再到几何的实际影响。

import math
g=math.exp(-.5)
d_center=g*2/4
d_width=g*4/8
assert abs(d_center-d_width)<1e-15
print(g,d_center,d_width)